1. 用拉格朗日
这个定理是高数中比较基础且比较难的问题。一般是证明题中运用得比较多。比如说证明一个不等式。需要用到公式中的，切记这个是满足区间中的任意数，要正确理解任意的含义。 举一个证明的列子，书上也出现过的。证明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正确证明这个题，要先构造一个函数f(x)=lnx,然后运用拉格朗日中值定理。
2. 用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理
令F(x)=f(x)-g(x)，则F'(x)=f'(x)-g'(x)=0.所以，由推论1得F(x)=C, 即f(x)-g(x)=C, 也就是f(x)=g(x)+C.
3. 用拉格朗日中值定理证明a-b/a（a-b）b²-4（a-b）=（a-b）（b²-4）=（a-b）（b+2）（b-2）用平方差公式
4. 用拉格朗日中值定理证明
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反应了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。表达式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。
5. 用拉格朗日中值定理证明e^x>1+x
证：令f(x)=e^x-ex对f(x)求导得f '(x)=e^x-e因为x＞1所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0故f(x)在x＞1上是增函数故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0即e^x-ex＞0e^x＞ex证毕。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。扩展资料：只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。该定理给出了导函数连续的一个充分条件。注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。
6. 用拉格朗日中值定理证明不等式
对于正数a、b.
A=(a+b)/2,叫做a、b的算术平均数
G=√(ab),叫做a、b的几何平均数
S=√[(a^2+b^2)/2],叫做a、b的平方平均数
H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)叫做调和平均数
不等关系：H=<G=<A=<S.其中G=<A是基本的。
G=<A证：
√a-√b是实数，所以(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->√(ab)=<(a+b)/2
A=<S证：
依G=<A,有2ab=<a^2+b^2
--->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2)
--->(a+b)^2=<2(a^2+b^2)
--->(a+b)^2*(1/4)=<(a^2+b^2)/2
--->(a+b)/2=√[(a^2+b^2)/2]
H=<G证：
依G=<A，有2√(ab)=<a+b
两边同时乘2√(ab)/(a+b)得
2ab/(a+b)=<√(ab)
7. 用拉格朗日中值定理求极限
MATLAB是一个非常强大的数学工具软件，下面介绍如何用它求取极限。
要求取极限，首先要创建符号变量。如图所示，创建了一个以x为符号的变量。
然后求取如图所示的式子在x趋于0时的极限值。
在MATLAB命名行窗口中输入以下命名。关键命名是limit（y,x,0）。如果要求取右极限只需在命名行加入一个right，如limit(y,x,0,'right')。求左极限，同理limit(y,x,0,'left')。如果要求x在其他点的极限，只需将0换成其他数就行了。比如limit(y,x,inf)，就是求x在趋于无穷大时，该式子的值。
8. 用拉格朗日中值定理证明e^x>ex
辅助函数法：
已知 在 上连续，在开区间 内可导，
构造辅助函数
可得又因为 在 上连续，在开区间 内可导，
所以根据罗尔定理可得必有一点 使得
由此可得
变形得
定理证毕。
9. 用拉格朗日求极限的条件
这里用的是导数的定义，不是拉格朗日中值定理，虽然有点象，但其本质是不一样的。当然，拉格拉日中值定理只要原函数在开区间内可导，在闭区间内连续就可以了，没有要求导函数一定要连续
10. 什么时候用罗尔定理,什么时候用拉格朗日
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡,则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
11. 用拉格朗日乘数法求极值如何判断是极大值
判断是极大值还是极小值点，一个初步的方法是依靠经验和对问题的认识。当不能作出有效判断时，可以求取函数的二阶导数进行判断，其实一个简单的方法是比较该极值点的函数值与相邻点的函数来作出判断。
至于存在不能化为无条件极值的问题，一般是先不管约束条件建立求解极值点的方程，然后再限制在约束条件下求出最后解答，具体的过程，建议参看变分原理等数学或力学书籍，如《计算动力学》中就有提到，不过这本书不是纯粹的数学推演。
（a-b）b²-4（a-b）=（a-b）（b²-4）=（a-b）（b+2）（b-2）用平方差公式
4. 用拉格朗日中值定理证明
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反应了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。表达式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。
5. 用拉格朗日中值定理证明e^x>1+x
证：令f(x)=e^x-ex对f(x)求导得f '(x)=e^x-e因为x＞1所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0故f(x)在x＞1上是增函数故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0即e^x-ex＞0e^x＞ex证毕。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。扩展资料：只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。该定理给出了导函数连续的一个充分条件。注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。
6. 用拉格朗日中值定理证明不等式
对于正数a、b.
A=(a+b)/2,叫做a、b的算术平均数
G=√(ab),叫做a、b的几何平均数
S=√[(a^2+b^2)/2],叫做a、b的平方平均数
H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)叫做调和平均数
不等关系：H=<G=<A=<S.其中G=<A是基本的。
G=<A证：
√a-√b是实数，所以(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->√(ab)=<(a+b)/2
A=<S证：
依G=<A,有2ab=<a^2+b^2
--->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2)
--->(a+b)^2=<2(a^2+b^2)
--->(a+b)^2*(1/4)=<(a^2+b^2)/2
--->(a+b)/2=√[(a^2+b^2)/2]
H=<G证：
依G=<A，有2√(ab)=<a+b
两边同时乘2√(ab)/(a+b)得
2ab/(a+b)=<√(ab)
7. 用拉格朗日中值定理求极限
MATLAB是一个非常强大的数学工具软件，下面介绍如何用它求取极限。
要求取极限，首先要创建符号变量。如图所示，创建了一个以x为符号的变量。
然后求取如图所示的式子在x趋于0时的极限值。
在MATLAB命名行窗口中输入以下命名。关键命名是limit（y,x,0）。如果要求取右极限只需在命名行加入一个right，如limit(y,x,0,'right')。求左极限，同理limit(y,x,0,'left')。如果要求x在其他点的极限，只需将0换成其他数就行了。比如limit(y,x,inf)，就是求x在趋于无穷大时，该式子的值。
8. 用拉格朗日中值定理证明e^x>ex
辅助函数法：
已知 在 上连续，在开区间 内可导，
构造辅助函数
可得又因为 在 上连续，在开区间 内可导，
所以根据罗尔定理可得必有一点 使得
由此可得
变形得
定理证毕。
9. 用拉格朗日求极限的条件
这里用的是导数的定义，不是拉格朗日中值定理，虽然有点象，但其本质是不一样的。当然，拉格拉日中值定理只要原函数在开区间内可导，在闭区间内连续就可以了，没有要求导函数一定要连续
10. 什么时候用罗尔定理,什么时候用拉格朗日
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡,则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
11. 用拉格朗日乘数法求极值如何判断是极大值
判断是极大值还是极小值点，一个初步的方法是依靠经验和对问题的认识。当不能作出有效判断时，可以求取函数的二阶导数进行判断，其实一个简单的方法是比较该极值点的函数值与相邻点的函数来作出判断。
至于存在不能化为无条件极值的问题，一般是先不管约束条件建立求解极值点的方程，然后再限制在约束条件下求出最后解答，具体的过程，建议参看变分原理等数学或力学书籍，如《计算动力学》中就有提到，不过这本书不是纯粹的数学推演。